Session Normale

Partie I :

1- a) Posons $h(x) = e^x - x - 1$ sur $\mathbb{R}$. Alors $h'(x) = e^x - 1$.
$h'(x) \le 0$ sur $]-\infty, 0]$ et $h'(x) \ge 0$ sur $[0, +\infty[$.
La fonction $h$ admet donc un minimum absolu en $0$ : $h(x) \ge h(0) = 0$.


1- b) Pour tout $t \ge 0$, on a $1+t \le e^t$. En intégrant sur $[0, x]$ avec $x \ge 0$ :
$\int_0^x (1+t) dt \le \int_0^x e^t dt \implies \left[t + \frac{t^2}{2}\right]_0^x \le [e^t]_0^x \implies x + \frac{x^2}{2} \le e^x - 1$.


2- a) Pour tout $t \ge 0$, on a $-t \le 0 \implies e^{-t} \le 1$, d'où $t e^{-t} \le t$. En intégrant sur $[0, x]$ :
$I(x) = \int_0^x t e^{-t} dt \le \int_0^x t dt = \frac{x^2}{2}$.


2- b) Par intégration par parties avec $u(t) = t \implies u'(t) = 1$ et $v'(t) = e^{-t} \implies v(t) = -e^{-t}$ :
$I(x) = [-t e^{-t}]_0^x - \int_0^x (-e^{-t}) dt = -x e^{-x} + [-e^{-t}]_0^x = -x e^{-x} - e^{-x} + 1$.


3- a) Soit $x \in ]0, +\infty[$, donc $x^2 \gt 0$.
• Minoration (avec 1-b) : $\frac{x^2}{2} + 1 + x \le e^x \implies e^x - x - 1 \ge \frac{x^2}{2} \implies g(x) = \frac{e^x - x - 1}{x^2} \ge \frac{1}{2}$.
• Majoration (avec 2-a et 2-b) : $I(x) \le \frac{x^2}{2} \implies 1 - e^{-x}(x+1) \le \frac{x^2}{2} \implies e^x - (x+1) \le \frac{x^2}{2} e^x \implies g(x) \le \frac{e^x}{2}$.


3- b) Comme $\lim_{x\to 0^+} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$ et $\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, le théorème d'encadrement (gendarmes) donne :

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Partie II :

1- Pour $x \gt 0$ : $f(x) = \frac{x}{e^x(1 - e^{-2x})} = \frac{x}{e^x} \cdot \frac{1}{1 - e^{-2x}}$.
Comme $\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$ (croissances comparées) et $\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{1 - e^{-2x}} = 1$, alors :

Interprétation graphique : La droite d'équation $y = 0$ (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale à $(C)$ au voisinage de $+\infty$.

2- Pour $x \gt 0$ : $\frac{e^x - e^{-x}}{x} = \frac{e^x - 1}{x} - \frac{e^{-x} - 1}{x} \xrightarrow[x\to 0^+]{} 1 - (-1) = 2$.
Donc $\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{\frac{e^x - e^{-x}}{x}} = \frac{1}{2} = f(0)$.


3- a) Pour $x \gt 0$ : $\frac{f(x) - f(0)}{x} = \frac{1}{x} \left( \frac{x}{e^x - e^{-x}} - \frac{1}{2} \right) = \frac{2x - (e^x - e^{-x})}{2x(e^x - e^{-x})}$.
Développons le second membre : $-e^{-x} f(x) \left( \frac{e^{2x} - 2x e^x - 1}{2x^2} \right) = \frac{-x e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \cdot \frac{e^{2x} - 2x e^x - 1}{2x^2} = \frac{- (e^x - 2x - e^{-x})}{2x(e^x - e^{-x})} = \frac{2x - (e^x - e^{-x})}{2x(e^x - e^{-x})}$.


3- b) Comme $g(u) = \frac{e^u - u - 1}{u^2}$, on a $2g(2x) = 2 \cdot \frac{e^{2x} - 2x - 1}{(2x)^2} = \frac{e^{2x} - 2x - 1}{2x^2}$.
Donc $2g(2x) - \frac{e^x - 1}{x} = \frac{e^{2x} - 2x - 1 - 2x(e^x - 1)}{2x^2} = \frac{e^{2x} - 2x e^x - 1}{2x^2}$.


3- c) En combinant 3-a et 3-b : $\frac{f(x) - f(0)}{x} = -e^{-x} f(x) \left( 2g(2x) - \frac{e^x - 1}{x} \right)$.
Quand $x \to 0^+$ : $-e^{-x} f(x) \to -1 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$, et $2g(2x) - \frac{e^x - 1}{x} \to 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 0$.
Donc $\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = -\frac{1}{2} \times 0 = 0$.


4- a) Pour $t \ge 0$ : $-t \le t \implies e^{-t} \le e^t \implies t e^{-t} \le t e^t$. De plus $t e^{-t} \ge 0$. En intégrant sur $[0, x]$ :


4- b) Par intégration par parties avec $u(t) = t \implies u'(t) = 1$ et $v'(t) = e^t \implies v(t) = e^t$ :
$J(x) = [t e^t]_0^x - \int_0^x e^t dt = x e^x - (e^x - 1) = (x-1)e^x + 1$.


4- c) Sur $]0, +\infty[$, la formule du quotient donne :
$f'(x) = \frac{(e^x - e^{-x}) - x(e^x + e^{-x})}{(e^x - e^{-x})^2}$.
Or $I(x) - J(x) = (-x e^{-x} - e^{-x} + 1) - (x e^x - e^x + 1) = (e^x - e^{-x}) - x(e^x + e^{-x})$.


4- d) Pour $x \gt 0$, $(e^x - e^{-x})^2 \gt 0$, et pour tout $t \gt 0$, $e^{-t} \lt e^t \implies I(x) \lt J(x) \implies I(x) - J(x) \lt 0$.
Donc $f'(x) \lt 0$ sur $]0, +\infty[$ et $f'_d(0) = 0$.


5- $f$ est continue sur $[0, +\infty[$ et strictement décroissante. Elle réalise donc une bijection de $[0, +\infty[$ vers l'intervalle image :
$f([0, +\infty[) = \left]\lim_{x\to +\infty} f(x), f(0)\right] = \left]0, \frac{1}{2}\right]$.


6- a) Posons $\varphi(x) = f(x) - x$ sur $[0, +\infty[$. $\varphi$ est continue et strictement décroissante comme somme de deux fonctions strictement décroissantes.
$\varphi(0) = f(0) - 0 = \frac{1}{2} \gt 0$ et $\lim_{x\to +\infty} \varphi(x) = 0 - \infty = -\infty \lt 0$.
Donc l'équation $f(x) = x \iff \varphi(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0, +\infty[$.
Détermination de $\alpha$ : pour $x \gt 0$, $f(x) = x \iff \frac{x}{e^x - e^{-x}} = x \iff e^x - e^{-x} = 1$.
En posant $X = e^x \gt 0$ : $X - \frac{1}{X} = 1 \iff X^2 - X - 1 = 0 \implies X = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (car $X \gt 0$).


6- b) Courbes $(C)$ et $(C')$ symétriques par rapport à la première bissectrice $(y=x)$ :


7- a) Par récurrence : pour $n=0$, $u_0 = 0 \in [0, 1/2]$ (Vrai).
Supposons que $0 \le u_n \le 1/2$. Comme $f$ est décroissante : $f(1/2) \le f(u_n) \le f(0)$.
Or $f(1/2) \gt 0$ et $f(0) = 1/2$, donc $0 \le u_{n+1} \le 1/2$.


7- b) Par le théorème des accroissements finis (ou l'inégalité des accroissements finis) sur $[u_n, \alpha]$ ou $[\alpha, u_n]$ :
Comme $|f'(x)| \le \frac{1}{2}$ pour tout $x \gt 0$, on a : $|f(u_n) - f(\alpha)| \le \frac{1}{2} |u_n - \alpha|$.
Puisque $f(u_n) = u_{n+1}$ et $f(\alpha) = \alpha$, on obtient :


7- c) Par récurrence :
• Pour $n=0$ : $|u_0 - \alpha| = |0 - \alpha| = \alpha \approx 0,481 \le 1 = (1/2)^0$ (Vrai).
• Hérédité : Si $|u_n - \alpha| \le (1/2)^n$, alors $|u_{n+1} - \alpha| \le \frac{1}{2}|u_n - \alpha| \le \frac{1}{2}(1/2)^n = (1/2)^{n+1}$.


7- d) Comme $\lim_{n\to +\infty} (1/2)^n = 0$ (car $|1/2| \lt 1$), par le théorème des gendarmes :

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Partie III :

1- a) Pour $x \ge 0$, on a $x \le 2x$ et sur $[x, 2x]$, $f(t) \ge 0$. Donc $F(x) = \int_x^{2x} f(t) dt \ge 0$.
De plus, $f$ est décroissante sur $[0, +\infty[$, donc pour tout $t \in [x, 2x]$, $f(t) \le f(x)$.
D'où $F(x) \le \int_x^{2x} f(x) dt = f(x)(2x - x) = x f(x)$.


1- b) On a $x f(x) = \frac{x^2}{e^x - e^{-x}} = \frac{x^2}{e^x} \cdot \frac{1}{1 - e^{-2x}} \xrightarrow[x\to +\infty]{} 0$.
Par encadrement, on en déduit :


1- c) Interprétation géométrique : $F(x)$ représente l'aire (en u.a.) du domaine délimité par $(C)$, l'axe des abscisses et les droites verticales $t=x$ et $t=2x$. Cette aire tend vers 0 quand $x \to +\infty$.

2- a) $f$ est continue sur $[0, +\infty[$, elle admet donc une primitive $\Phi$ sur $[0, +\infty[$, et $F(x) = \Phi(2x) - \Phi(x)$.
Comme $x \mapsto \Phi(2x)$ et $x \mapsto \Phi(x)$ sont dérivables sur $[0, +\infty[$, $F$ est dérivable sur $[0, +\infty[$.


2- b) Pour tout $x \ge 0$ : $F'(x) = 2f(2x) - f(x)$.
$2f(2x) - f(x) = \frac{4x}{e^{2x} - e^{-2x}} - \frac{x}{e^x - e^{-x}} = f(x) \left( \frac{4}{e^x + e^{-x}} - 1 \right) = f(x) \left( \frac{4 - e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \right)$.
En multipliant haut et bas par $e^x$ : $\frac{4e^x - e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = \frac{-(e^{2x} - 4e^x + 1)}{e^{2x} + 1}$.


2- c) Sur $[0, +\infty[$, $f(x) \gt 0$ et $e^{2x}+1 \gt 0$. Le signe de $F'(x)$ est l'opposé de $P(x) = e^{2x} - 4e^x + 1$.
En posant $X = e^x \gt 0$, $X^2 - 4X + 1 = 0 \implies X = 2 \pm \sqrt{3}$. Seule la racine $X = 2+\sqrt{3} \gt 1$ convient sur $[0, +\infty[$, d'où $x_0 = \ln(2+\sqrt{3})$.
$F'(x)$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe (positive sur $[0, x_0[$ puis négative sur $]x_0, +\infty[$).

Partie I :

1- L'équation $(E_m) : \overline{m} z^2 - 2z + m = 0$ a pour somme des racines $z_1 + z_2 = \frac{2}{\overline{m}}$.
Comme $\frac{2}{\overline{m}} = \frac{2}{\sqrt{2}e^{-i\theta}} = \sqrt{2}e^{i\theta} = m$, alors :
$z_2 = m - z_1 = m - \frac{m(1-i)}{2} = m \left(1 - \frac{1-i}{2}\right) = \frac{m(1+i)}{2}$.


2- Avec $1-i = \sqrt{2}e^{-i\pi/4}$ et $m = \sqrt{2}e^{i\theta}$ :
$z_1 = \frac{\sqrt{2}e^{i\theta} \cdot \sqrt{2}e^{-i\pi/4}}{2} = e^{i(\theta - \pi/4)}$.

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Partie II :

1- L'affixe de l'image de $M_1$ par la rotation $R(O, \pi/2)$ est :
$z' = e^{i\pi/2} z_1 = i z_1 = e^{i\pi/2} e^{i(\theta - \pi/4)} = e^{i(\theta + \pi/4)} = \frac{m(1+i)}{2} = z_2$.


2- a) Calculons : $\frac{m - z_1}{z_1 - 0} = \frac{m - \frac{m(1-i)}{2}}{\frac{m(1-i)}{2}} = \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)^2}{2} = i \in i\mathbb{R}^* \implies (MM_1) \perp (OM_1)$.
De même : $\frac{m - z_2}{z_2 - 0} = \frac{m - \frac{m(1+i)}{2}}{\frac{m(1+i)}{2}} = \frac{1-i}{1+i} = -i \in i\mathbb{R}^* \implies (MM_2) \perp (OM_2)$.


2- b) $OM_1 = |z_1| = \left|e^{i(\theta-\pi/4)}\right| = 1$ et $OM_2 = |z_2| = \left|e^{i(\theta+\pi/4)}\right| = 1$.


2- c) On a $M_1M = |m - z_1| = |i z_1| = |z_1| = 1$ et $M_2M = |m - z_2| = |-i z_2| = 1$.
Ainsi $OM_1 = M_1M = MM_2 = M_2O = 1$, donc $OM_1MM_2$ est un losange ayant un angle droit en $M_1$ (et en $O$).


3- a) Simplifions $h = \frac{-i e^{i(2\theta)}}{\sqrt{2}\sin\theta} = \frac{\sin(2\theta) - i\cos(2\theta)}{\sqrt{2}\sin\theta} = \frac{2\sin\theta\cos\theta - i\cos(2\theta)}{\sqrt{2}\sin\theta} = \sqrt{2}\cos\theta - i\frac{\cos(2\theta)}{\sqrt{2}\sin\theta}$.
Comme $m = \sqrt{2}\cos\theta + i\sqrt{2}\sin\theta$, on a $\text{Re}(h) = \sqrt{2}\cos\theta = \text{Re}(m)$, d'où $\text{Re}(m-h) = 0$.
Ensuite, $h\overline{m} = \frac{-i e^{i2\theta}}{\sqrt{2}\sin\theta} \cdot \sqrt{2}e^{-i\theta} = \frac{-i e^{i\theta}}{\sin\theta} = \frac{-i(\cos\theta + i\sin\theta)}{\sin\theta} = 1 - i\text{cotan}(\theta)$.
Donc $1 - h\overline{m} = i\text{cotan}(\theta) \in i\mathbb{R} \implies \text{Re}(1 - h\overline{m}) = 0$.


3- b) Posons $w = \frac{a-h}{m+1} = \frac{1-h}{m+1}$. Alors $w + \overline{w} = \frac{(1-h)(\overline{m}+1) + (1-\overline{h})(m+1)}{|m+1|^2}$.
Le numérateur vaut $(m+\overline{m}) + 2 - (h\overline{m} + \overline{h}m) - (h+\overline{h}) = 2\text{Re}(m) + 2 - 2\text{Re}(h\overline{m}) - 2\text{Re}(h) = 0$.


3- c) • $\vec{AB}$ a pour affixe $b-a = -2 \in \mathbb{R}^*$ et $\vec{MH}$ a pour affixe $h-m$. Comme $\text{Re}(h-m) = 0$, $\frac{h-m}{b-a} \in i\mathbb{R} \implies (MH) \perp (AB)$.
• $\vec{MB}$ a pour affixe $b-m = -(m+1)$ et $\vec{AH}$ a pour affixe $h-a$. D'après 3-b, $\frac{h-a}{b-m} = \frac{a-h}{m+1} \in i\mathbb{R} \implies (AH) \perp (MB)$.



4- a) $z_2 - z_1 = e^{i\theta}(e^{i\pi/4} - e^{-i\pi/4}) = e^{i\theta} \cdot 2i\sin(\pi/4) = i\sqrt{2}e^{i\theta}$.
$\frac{h}{z_2 - z_1} = \frac{-i e^{i2\theta}/(\sqrt{2}\sin\theta)}{i\sqrt{2}e^{i\theta}} = \frac{-e^{i\theta}}{2\sin\theta} = -\frac{\cos\theta + i\sin\theta}{2\sin\theta} = -\frac{\text{cotan}\theta}{2} - \frac{i}{2}$.
$\frac{-z_1}{z_2 - z_1} = \frac{-e^{i(\theta-\pi/4)}}{i\sqrt{2}e^{i\theta}} = \frac{-e^{-i\pi/4}}{i\sqrt{2}} = \frac{1+i}{2}$.
En additionnant : $\frac{h-z_1}{z_2-z_1} = \left(-\frac{\text{cotan}\theta}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right) = \frac{1}{2}(1 - \text{cotan}\theta)$.


4- b) Le nombre $\frac{1}{2}(1 - \text{cotan}\theta) \in \mathbb{R}$ car $\text{cotan}\theta \in \mathbb{R}$.
Donc $\frac{h-z_1}{z_2-z_1} \in \mathbb{R}$, ce qui signifie que les vecteurs $\vec{M_1H}$ et $\vec{M_1M_2}$ sont colinéaires.

Partie I :

A. Équation $(F) : 5u - 9v = 1$ dans $\mathbb{Z}^2$ :
1- On a $5 \times 2 - 9 \times 1 = 10 - 9 = 1$.


2- Si $(u, v)$ est solution, alors $5u - 9v = 5(2) - 9(1) \implies 5(u-2) = 9(v-1)$.
Comme $\text{pgcd}(5, 9) = 1$, par le théorème de Gauss, $9 \mid (u-2) \implies u = 2 + 9k$ ($k \in \mathbb{Z}$), puis $v = 1 + 5k$.


3- $5^{u_0} = 5^2 = 25 = 19 + 6 \equiv 6 [19]$.


B. Équation $(E) : x^{2026} \equiv 5 [19]$ dans $\mathbb{Z}$ :
1- a) Si $19 \mid x$, alors $x^{2026} \equiv 0 \not\equiv 5 [19]$, impossible. Donc $19 \nmid x$.
Comme 19 est premier et ne divise pas $x$, $\text{pgcd}(x, 19) = 1$. D'après le petit théorème de Fermat :


1- b) Division euclidienne : $2026 = 18 \times 112 + 10$.
$x^{2026} = (x^{18})^{112} \cdot x^{10} \equiv 1^{112} \cdot x^{10} \equiv x^{10} [19]$. Comme $x^{2026} \equiv 5 [19]$ :


1- c) D'après la partie A, $5u_0 - 9v_0 = 1$ avec $u_0=2, v_0=1$, soit $10 \times 2 = 18 \times 1 + 2$, c'est-à-dire $20 = 18 + 2$.
D'où $x^{20} = x^{18} \cdot x^2 \equiv x^2 [19]$.
D'autre part, $x^{20} = (x^{10})^2 \equiv 5^2 \equiv 6 [19]$. Par identification :


1- d) Comme $5^2 = 25 \equiv 6 [19]$, on a $x^2 \equiv 5^2 [19] \iff x^2 - 5^2 \equiv 0 [19] \iff (x-5)(x+5) \equiv 0 [19]$.
Comme 19 est un nombre premier : $19 \mid (x-5)$ ou $19 \mid (x+5)$.


2- Réciproquement, si $x \equiv 5 [19]$ ou $x \equiv -5 [19]$, alors $x^2 \equiv 25 \equiv 6 [19]$ et $19 \nmid x$.
Alors $x^{10} = (x^2)^5 \equiv 6^5 [19]$. Or $6^2 = 36 \equiv -2 [19]$, $6^4 \equiv 4 [19]$, $6^5 = 4 \times 6 = 24 \equiv 5 [19]$.
Donc $x^{10} \equiv 5 [19]$, et $x^{2026} \equiv x^{10} \equiv 5 [19]$.

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Partie II :

1- Les numéros entre 1 et 100 solutions de $(E)$ sont :
• $\equiv 5 [19]$ : $\{5, 24, 43, 62, 81, 100\}$ (6 valeurs)
• $\equiv 14 [19]$ : $\{14, 33, 52, 71, 90\}$ (5 valeurs)
Total de cas favorables = $6 + 5 = 11$. D'où :


2- On répète $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p = 0,11$.
La probabilité d'obtenir $V$ au moins une fois est $1 - (1-p)^n = 1 - (0,89)^n$.
On cherche $n$ tel que : $1 - (0,89)^n \gt 0,95 \iff (0,89)^n \lt 0,05 \iff n \ln(0,89) \lt \ln(0,05) \iff n \gt \frac{\ln(0,05)}{\ln(0,89)} \approx 25,7$.

1- Calculons le produit $M(x) \times M(y)$ :
La première ligne de $M(x)$ étant $(1, 0, 0)$, la 1ère ligne du produit est $(1, 0, 0)$.
• Coeff $(2,1)$ : $x^2 \times 1 + (1-x)y^2 + x(y^2+2y) = x^2 + y^2 - xy^2 + xy^2 + 2xy = (x+y)^2$.
• Coeff $(2,2)$ : $(1-x)(1-y) - xy = 1 - x - y + xy - xy = 1 - (x+y)$.
• Coeff $(2,3)$ : $(1-x)y + x(y+1) = y - xy + xy + x = x + y$.
• Coeff $(3,1)$ : $(x^2+2x) \times 1 - x y^2 + (x+1)(y^2+2y) = x^2 + 2x - xy^2 + xy^2 + 2xy + y^2 + 2y = (x+y)^2 + 2(x+y)$.
• Coeff $(3,2)$ : $-x(1-y) - (x+1)y = -x + xy - xy - y = -(x+y)$.
• Coeff $(3,3)$ : $-xy + (x+1)(y+1) = -xy + xy + x + y + 1 = (x+y) + 1$.
On reconnaît exactement la matrice $M(x+y)$.


2- a) Pour tous $x, y \in \mathbb{R}$ : $\varphi(x+y) = M(x+y) = M(x) \times M(y) = \varphi(x) \times \varphi(y)$.
Donc $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{R}, +)$ vers $(M_3(\mathbb{R}), \times)$.
Par définition de $E$, on a $\varphi(\mathbb{R}) = \{M(x) / x \in \mathbb{R}\} = E$.


2- b) Comme $\varphi$ est un homomorphisme surjectif de $(\mathbb{R}, +)$ sur $(E, \times)$, et que $(\mathbb{R}, +)$ est un groupe commutatif d'élément neutre 0 :
• $(E, \times)$ est un groupe commutatif.
• Son élément neutre est $\varphi(0) = M(0) = I$.
• Le symétrique de tout $M(x)$ est $\varphi(-x) = M(-x) \in E$.


3- a) Remarquons que $M(x) = I \iff x = 0$, donc $E \setminus \{I\} = \{M(x) / x \in \mathbb{R}^*\}$.
• Loi de composition interne : $\forall x, y \in \mathbb{R}^*,\; 2xy \ne 0 \implies M(x) T M(y) = M(2xy) \in E \setminus \{I\}$.
• Commutativité : $M(x) T M(y) = M(2xy) = M(2yx) = M(y) T M(x)$.
• Associativité : $(M(x) T M(y)) T M(z) = M(2xy) T M(z) = M(4xyz) = M(x) T (M(y) T M(z))$.
• Élément neutre : $M(x) T M(e) = M(x) \iff 2xe = x \iff e = \frac{1}{2}$. Donc $M(1/2) \in E \setminus \{I\}$ est l'élément neutre.
• Symétrique : $M(x) T M(x') = M(1/2) \iff 2xx' = \frac{1}{2} \iff x' = \frac{1}{4x} \ne 0$. Le symétrique de $M(x)$ est $M\left(\frac{1}{4x}\right) \in E \setminus \{I\}$.


3- b) On a :
• $(E, \times)$ est un groupe commutatif de neutre « zéro » $I = M(0)$ (question 2-b).
• $(E \setminus \{I\}, T)$ est un groupe commutatif (question 3-a).
• Distributivité de $T$ par rapport à $\times$ : pour tous $x, y, z \in \mathbb{R}$ :
$M(x) T (M(y) \times M(z)) = M(x) T M(y+z) = M(2x(y+z)) = M(2xy + 2xz) = M(2xy) \times M(2xz) = (M(x) T M(y)) \times (M(x) T M(z))$.


4- a) Par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$ :
• Pour $n=1$ : $(M(x))^1 = M(x) = M(1 \cdot x)$ (Vrai).
• Hérédité : Si $(M(x))^n = M(nx)$, alors $(M(x))^{n+1} = (M(x))^n \times M(x) = M(nx) \times M(x) = M(nx+x) = M((n+1)x)$.


4- b) Soit $X \in E$, donc $X = M(x)$ avec $x \in \mathbb{R}$.
$X^3 = M(3x)$ et $X^2 = M(2x)$. En soustrayant terme à terme :
$X^3 - X^2 = M(3x) - M(2x) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 9x^2 - 4x^2 & -x & x \\ (9x^2+6x) - (4x^2+4x) & -x & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 5x^2 & -x & x \\ 5x^2+2x & -x & x \end{pmatrix}$.
L'équation $X^3 - X^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ impose :
$\begin{cases} 5x^2 = 5 \\ -x = 1 \\ x = -1 \\ 5x^2+2x = 3 \end{cases} \implies x = -1$.
La solution unique est donc :